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高中三角函數性質問題~20點
(1)8(cos30度+isin30度)的立方根為?(2)-16的四次方根為?(3)64的6個6次方根，在複數平面上，所連成的多邊形周長?(4)在複數平面上，描繪出...顯示更多(1)8(cos30度+isin30度)的立方根為?(2)-16的四次方根為?(3)64的6個6次方根，在複數平面上，所連成的多邊形周長?(4)在複數平面上，描繪出z^6=4-4√3i的各根所位置，連接各點成一正六邊形，則下列哪些正確？(a)此六個頂點中，有兩個點在第二象限(b)此六個頂點之x座標的總和為零(c)此六邊形的周長為6√2(d)此六邊形面積為3√3(5)設方程式x^5=1的五個根為1,w1,w2,w3,w4,則(3-w1)(3-w2)(3-w3)(3-w4)=?(a)81(b)162(c)121(d)242(6)若複數w滿足w^3=1，但w不等於1，則下列敘述哪些為真？(a)w^2+w的共軛複數=0(b)z的絕對值=1請附上詳細的計算過程和講解謝謝！
幾乎都是隸美弗定理跟n次方根的應用 1.a^3=8(cos30+isin30) a=2[cos(30+2kpi/3)+i*sin(30+2kpi/3)], k=1,1,2 2.a^4=-16=16[cos(pi)+i*sin(pi)] a=2[cos(pi+2kpi)/4+i*sin(pi+2kpi)/4] ,k=0,1,2,3 3.六次方根形成正六邊形 到圓心的半徑為2-->邊長為2 周長為2*6=12 4.z^6=4-4√3i-->|4-4√3i|=8 如圖 六次方根為邊長√2的正六邊形 -->(b),(c),(d) 圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AF04257429/o/161012070232113872577540.jpg 2010-12-07 16:51:33 補充： 5.x^5=1-->x^5-1=0--> x^5-1=(x-1)(x-w)(x-w2)(x-w3)(x-w4) x=3代入 243-1=2(3-w)(3-w2)(3-w3)(3-w4) 所求=(243-1)/2=121 2010-12-07 16:53:05 補充： 可知 w^3=1 且 w^2+w+1=0 w^2+w=-1--> 共軛複數=-1 |z|=|w|=|w^2|=1 2010-12-07 22:16:50 補充： 1.a^3=8(cos30+isin30) a=2[cos(30+2kpi/3)+i*sin(30+2kpi/3)], k=0,1,2 2010-12-07 22:17:26 補充： 4.(a)是錯的~只有一點在第二象限 2010-12-07 22:18:34 補充： 比字多就算贏了嗎???
(1)8(cos30度+isin30度)的立方根為?[8(cos30度+isin30度)]^1/3=8^1/3*(cos(30+360n)/3+i(30+360n)/3)n=0,1,2(再下去重複)2(cos10+isin10)、2(cos130+isin130)、2(cos250+isin250)(2)-16的四次方根為?-16=16(cos180+isin180)(-16)^1/4=2[cos(180+360n)/4+isin(180+360n)/4]n=0,1,2,32(cos45+isin45)、2(cos135+isin135)、2(cos225+isin225)、2(cos315+isin315)(3)64的6個6次方根，在複數平面上，所連成的多邊形周長?64=64(cos0+isin0)64^1/6=2[cos(360n)/6+isin(360n)/6)]n=0,1,2,3,4,5其面積＝6個邊長為2的正三角形=6*√3其週長=2*6=12(4)在複數平面上，描繪出z^6=4-4√3i的各根所位置，連接各點成一正六邊形，則下列哪些正確？z^6=4-4√3i=8(cos300+isin300)=√2[cos(300+360n)/6+isin(300+360n)/6]=√2[cos(50+60n)+isin(50+60n)]n=0,1,2,3,4,5(a)此六個頂點中，有兩個點在第二象限(○)(b)此六個頂點之x座標的總和為零(○)x1+x4=0x2+x5=0x3+x6=0(c)此六邊形的周長為6√2(○)半徑=√2=六邊形的邊長六邊形的周長=6√2(d)此六邊形面積為3√3(○)[(√3)/4*(√2)^2]*6=3√3(5)設方程式x^5=1的五個根為1,w1,w2,w3,w4,則(3-w1)(3-w2)(3-w3)(3-w4)=?(a)81(b)162(c)121(d)242x^5=1的五個根為1,w1,w2,w3,w4可見多項式f(x)=x^5-1有5個因式：(x-1)、(x-w1)、(x-w2)、(x-w3)、(x-w4)所以f(x)=x^5-1=(x-1)(x-w1)(x-w2)(x-w3)(x-w4)所以f(3)=3^5-1=2(3-w1)(3-w2)(3-w3)(3-w4)(3-w1)(3-w2)(3-w3)(3-w4)=(3^5-1)/2=121(6)若複數w滿足w^3=1，但w不等於1，則下列敘述哪些為真？(a)w^2+w的共軛複數=0w^3=1，w^3-1=0(w-1)(w^2+w+1)=0w≠1，(w^2+w+1)=0w^2+w=-1=-1+0i其共軛複數-1-0i=-1(b)z的絕對值=1|z|=1^1/3=1信欣茗http://tw.myblog.yahoo.com/wang620628/article?mid=646&prev=-1&next=645參考資料：月下隱者+電腦週邊急救團(1)2(cos10度+isin10度),2(cos130度+isin130度),2(cos250度+isin250度)
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